导热油炉的数学模拟

汪琦

（上海热炉油／热风炉／热水炉／熔盐炉设计开发中心  上海  200042）

摘  要：介绍零维模型、一维模型、二维模型、三维模型，并以基本微分方程组描述了工业炉内的流体流动、化学反应、燃料燃烧及传热的现象，建立起综合描述工业炉内各种过程的数学模型，利用数值方法求解。

关键词：导热油炉；流体流动；化学反应；燃料燃烧；传热；数学模型

一、前言

工业炉的设计以往主要靠直观和经验以及大量实验，并且通过大型试验的方法来促使炉子的性能优化，这样要耗费大量的人力、物力、财力和时间。随着大型计算机以及计算流体力学、计算传热学和计算机燃烧学的迅速发展，建立起描述工业炉所用的数学模拟方法。一个成功的数学模型具有很大的经济意义。它可以预报尚未建造的设备性能，可使新设计的炉子采用最佳的设计参数，可以寻找最佳的运行方式等。

数学模型的应用正日益增加，随着热负荷的增大，炉子费用昂贵，并要求尽量提高其效率，而模型计算的能力正在增大；因此，扩大数学模型的应用在经济上是合算的。当然，要得到广泛的应用首先要通过实验证明所用的数学模型是确实可靠的。

二、数学模型

按照数学模型的复杂程度和应用场合可分为零维、一维、二维和三维几类模型。

1．零维模型

零维模型的特点是假定炉膛内烟气的温度和组成是均匀的，炉壁的温度虽然与烟气不同，但也是均匀的；而所谓组成是均匀的是指燃烧是完全的，炉膛中的组成成分处于局部的平衡状态。烟气的温度用流动烟气的焓值变化与传递给炉壁的热流相平衡的简单代数方程来求解。

零维模型由于计算简单，已经进行了大量的研究工作，也具有相当的精确度，因此，直到现在仍然是工程设计的主要方法。这种模型能决定总传热量与燃料、空气输入量的函数关系，但未考虑炉内流动与火焰性质的空间与时间变化。

所有这些性质的三个坐标方向上的分布均假定为均匀的，也就是速度、温度与焓等物理量的梯度为零。从而在许多情况下，能算出运行参量对炉膛总体性能影响的正确趋势，可由于实际的温度和组成是不均匀的，当炉内流动情况与零维模型假定的差别加大时此方法的精度恶化。因此，从现代的要求来看，零维模型已经不能满足计算要求。

2．一维模型

一维模型是假定炉膛内烟气的温度和组成沿火焰行程方向是变化的，而在截面上的变化则认为很小可以忽略，从而建立烟气温度沿火焰行程变化的常微分方程。如果给受热面的传热假定仅是发生在垂直于气流的方向，则微分方程式是一阶的。如果采用某些简化的方式来考虑沿纵向的传热，则微分方程成为二阶的。有时炉膛内的过程随着时间的变化超过随距离的变化；然而，这可以看作是由于沿炉子通道进入混合物的质点变化所引起的，通常提出的描写方式是化学物质的反应随时间的变化，而在数学上，这可用相当的沿着空间距离的变化来描述；因此，可得出同样的一阶微分方程。有纵向辐射时则就不能按这样的方式来处理。

一维模型考虑了流动与火焰性质的一维变化，从而比零维模型更为接近实际。在大型炉子中，通常要求知道沿炉子长度方向上的热流与温度分布。这意味着沿火焰轴线存在着显著的梯度，而另外两个坐标方向上的梯度则可忽略不计。这一假定适用于炉膛长度比其宽度和深度要大得多的那些炉子，从此炉子被分为横截面上为均匀性质的各段。

这种模型限用于无气体回流的流动，并假定燃烧器出口已完全燃烧。一维模型在工程设计中是使用得不太多的，其主要原因还是由于与实际情况的差别太大；但一维模型在数学模型的发展中则是起了作用的。

3．二维模型

二维模型用于轴向对称的炉膛，其壁温或热流沿轴向是变化的。假定流动是稳定的，炉膛内烟气的组成和温度沿轴向和在对称轴的垂直距离上均是变化的，这时可用微分方程进行分析。这一模型与一维模型在数学和物理上都是不同的。

在物理上，由于沿气流的横截面上不再是均匀的，必须引入不同形式的控制实际有限的混合率的定律。如果是层流，则导热、扩散、粘性作用的定律，以及有关的流体性质的知识全都是必须的；而在几乎所有的实际情况中，流动是紊流。则又必须引入计算紊流度及其对火焰发展影响的问题。

在数学上分成两类，第一类使用抛物线微分方程描写的，相应于没有轴向再循环的流动，因而在此方向上没有明显的导热和辐射的交换，用单进口积分法从炉子的进口到出口求解。第二类是用椭圆微分方程描写的，用于有轴向再循环或明显的纵向热交换的情况，由于这种影响，使得接近炉膛出口处的烟气特性，而这直到积分前沿达到它时还是未知的，却对进口处有某些影响。因此，对于这种模型，必须采用迭代法求解。

由于有许多实际的燃烧系统是轴向对称形式的，因此，二维数学模型在正确地预报它们的传热和燃烧性能方面具有良好的前景。Hottel提出了求解二维计算问题的一个数学方法，即用于辐射传热计算的方法。把炉膛空间分成一组子容积，把周围的炉壁分成一组子面积，然后提出了计算所有这些容积和面积单元之间辐射热交换的方法，称为区域法。

4．三维模型

有许多炉子不是轴向对称形的，最典型的是电站锅炉，一般是箱形的，燃料和空气从布量在壁上的各种燃料器喷入炉膛。对这种炉子，要描写其燃料空间的温度和组成的分布，必须应用三度空间的坐标。由于维数的增加，又在数学和物理方面带来新的特点。例如在二维流动中所使用的流动结构在三维流动中就不合适了，必须重新建立。

在物理方面，由于维数的增加，使得必须考虑紊流特性数以及它们之间相互作用数的增加。这种模型能求解表示质量、动量、能量与组分守恒的联立偏微分方程；并用表示流动的湍流特性、反应特性与传热的近似模型，对这些方程加以补充。

各类模型的输入与输出信息见表1。

表1  各类模型的输入与输出信息

三、基本微分方程组

1．质量守恒方程（连续方程）

其中P为密度，t为时间，U为速度矢量。式（1）表示质量进入单位体积的净流率等于密度的增加率。

2．动量守恒方程

其中u为速度，u为粘度，p为压力，Bx为x方向上单位体积的体积力，Vx表示除d iv（u•gradu）以外的那些粘性项，式（2）表示单位体积的x方向动量的增加率等于x方向动量进入此单位体积的净流率加上作用于该单位体积的净力。

3．化学组分守恒方程

4．能量守恒方程

其中h为滞止比焓，λ为导热系数，Cp为定压比热，Sh为容积热源产生率，Sh﹦Srad +S，Srad为辐射能源项，S为其他能源项。式（4）表示单位容积流体在单位时间内的内能加动能的增加率等于滞止焓流入的净速率，加上由于燃料燃烧产生的能量和由于辐射传递的热量之和。

由于上述微分方程只是表达流体质点在某一时刻的不定常湍流运动；因此，必须对各参数进行时间平均的处理（时均化），即将式（1）~（4）的瞬时速度、密度、质量分率及焓等分解它们的时间平均分量与脉动分量，成为雷诺分解。

经雷诺分解后的时平均守恒方程的形式与基本微分方程组的形式几乎一样，只是用变量的时均值代替了变量的瞬时值；并且增加了一些变量的脉动量的乘积项。脉动量乘积项的出现使得时平均方程的数目少于这些方程所包含的未知数的数目，从而方程组不能封闭，无法求解。因此，为了求解这套时平均方程组，要求对附加的脉动量乘积项进行数值模拟，不同的模拟方案就构成了不同的模型，需要模拟的过程有湍流流动、湍流燃烧、辐射传热过程。

四、湍流模型

1．湍流动能方程（k方程）

2、湍流动能耗散速率方程（ε方程）

其中ε为湍流动能耗散率，σε为ε的Prandtl―Schmidt常数，Sε为ε方程的源项，Sε﹦p（C1 G―C2 ε）, C1和C2为常数。

五、燃烧模型

燃烧是一种伴随着剧烈放热化学反应的流动过程，它包含流体流动、传热。传质和化学反应诸过程以及它们之间的相互作用，所以是一个极其复杂的过程。在工业炉中，一般的燃烧过程多属于湍流燃烧。根据燃料的种类和燃烧方式（预混或不预混）等有很多的燃烧模型。

1．扩散火焰的快速化学反应模型

模型一：这是最简单的一种，它假定化学反应速度无限快，燃料和氧化物在任何地点不共存，反应为一步不可逆反应，所有扩散系数都相等。

时均的混合分率f的守恒方程为﹕

式中of为f的湍流Pradtl―Schmidt常数。

模型二﹕通过大量的实验研究表明，在分析湍流火焰时，仅考虑湍流的输运特性是不够的，必须考虑湍流的脉动特性对火焰的影响。由于存在着湍流脉动所以在同一地点，但在不同时刻，燃料与氧化物可以共存。这一论点与模型一的燃料与氧化物在任何地点不共存的论点是不矛盾的。因为，模型一中指的是燃料与氧化物的瞬时值，模型二中指的是平均值。

浓度脉动g的局部值可由下列相应的守恒方程得出：

2．预混火焰的有限化学反应速率模型

模型三：旋涡破碎模型（EBU）认为在湍流燃烧区充满了已燃起团和为燃气团，化学反应在这两种气团的交界面上发生，认为平均化学反应率决定于为燃气团在湍流作用下破碎成更小气团的速率，而破碎速率与湍流脉动动能的衰变速率正成比，其表达式为：

式中CR为常数。

六、辐射传热模型

1．区域法

对任一面区的传热速率与热平衡方程为：

式中等号左边的第一个Σ项表示所有的表面区对某一指定的表面区i的辐射产热速率，第二个Σ项表所有的气体区对定的表面区i的辐射传热速率，第三项表示表面区i自身向外的辐射率，第四项表示与表面区i相接处的气体区对表面区i的对流传热速率，等号右边的项表示表面区i的受热速率。

对任一气体区的传热速率方程和受热平衡方程为：

式中等号左边的第一个ε项表示所有的气体区对某一指定的气体区i的辐射传热速率；第二个ε项表示所有的表面区对气体区i的辐射传热速率；第三个ε项表示气体区i自身向外的辐射速率，其中mi表示用几个灰气体拟真实的气体；第四项表示与表面区i相接触的气体区对表面区i的对流传热速率；第五项表示气体区i中燃料的发热速率（如果该去中没有燃料，则Qf﹦o）,等号右边的项表示由于烟气进出气体区i，气体区i焓的差值，它等于离开i区的焓减去进入i区的焓。

分别为表面区对表面区、气体区对表面区、气体区对气体区、表面区对气体区的定向通量面积，均具有面积的因次，Es、Eg分别为表面区、气体区的黑体辐射能力、A为表面区的面积，ε为表面区的黑度，h为对流放热系数，Tg、Ts分别为气体区、表面区的温度，ag为加权因子，是考虑真实气体与灰气体差别的因子，K为灰气体的吸收系统。

2．蒙特卡洛法

对任一表面区的传热速率与热平衡方程为：

式中等号左边的第一项表示表面区（i,j,k）接受的辐射传热速率，第二项表示气体区以对流方式传给表面区（i,j,k）的能量率，第三项表示表面区（i,j,k）自身向外辐射率，等号右边的项表示表面区（i,j,k）的辐射热流量的速率。

对任一气体区的传热速率方程和热平衡方程为：

式中等号左边的第一项表示气体区（i。j,k）接受的辐射传热速率；第二项表示气体区以对流方式传给表面区（i,j,k）的能量率；第三项表示烟气进出气体区（i,j,k），气体区（i,j,k）的焓变；第四项表示气体区（i,j,k）中燃料的发热速率（如果该区中没有燃料，则Qf﹦0）,等号右边的项表示气体区（i,j,k）的辐射热流量的速率。

3．热流法

在能量守恒方程式中，辐射能源Srad对总的能量平衡的影响可以表示为：

式（14）、（15）、（16）中Ka为介质的单色体积吸收系数，qx、qr、qz和qr分别为x、y、z、和r、方向上的热流，q﹢、q¯分别为正、负坐标方向上的热流，E为黑体辐射能力。

七、 数值求解方法

偏微分方程式（1）~（8）均可以用一个通式表示：

在通用的微分方程中的四项是非稳定项，对流项、扩散想和源项，因为变量Ø可以表示各种不同的量，扩散系数ΓØ和源项S Ø是对特殊含义的Ø所特有的。

利用差分技术，可将通过（17）变为离散化的差分方程式：

式中下标E、W、N、S、T、B分别代表网格p点周围的东、西、南、北、上、下各个方向的相邻点。式（18）是一个代数方程式，一般可用高斯一塞德尔迭代法求解。为了加速收敛，常采用超松弛或欠松弛方法。

八、结束语

圆筒型导热油炉的受热面通常是由二层和三层圆形紧排螺旋盘管组成，大型导热油炉对安全性和经济性要求很高，仅仅知道炉膛的平均热负荷以及炉膛出口的烟气平均温度显然已不能满足要求，因而要求更准确地计算炉内烟气温度的分布、受热面壁温的分布、炉管内导热油的温度分布，数学模拟法是把导热油炉内的流体流动、化学反应和传热的现象统一考虑，建立描述这几种现象的数学模型，然后用数值方法求解的一种方法。

这种方法的优点是可以提供导热油炉内的速度场、温度场、浓度场、热流场等信息，是导热油炉内各种过程的综合描述，随着理论上对湍流过程、燃烧过程和传热过程认识的加深，随着计算机及计算技术的发展，模拟方法日瑧完善，终将成为导热油炉设计开发的主要方法。

参考文献：

[1]王致均等.锅炉内过程[M].科学技术文献出版社重庆分社,1980.

[2]E.E.卡里尔著,陈熙等译.燃烧室与工业炉的模拟[M].科学出版社,1987.

[3]杨光烔.工业炉的近代数学模拟方法[J].石油炼制,1988, 4.

[4]Gosman  A .D.,Pun W.M.etal,Heat and Mass Transfer in Recirculating Flows. Aeadenic press,1969.

[5]S.V.帕坦卡著,张政译.传热与流体流动的数值计算[M].科学出版社,1984.

[6]黄祖祺.炼油、化工管式炉辐射室传热计算方法的发展与展望[N].石油大学学报,1989,4.

[7]王应时等.燃烧过程数值计算[M].科学出版社,1986.

[8]Spalding D.B.,13th spmp on combustion, 1971,649.

[9]汪琦.化学工业炉的数学模拟[C].全国第三届锅炉压力容器技术交流会议论文,1991.

[10]汪琦.化学工业炉的辐射传热模型[C].全国第三届锅炉压力容器技术交流会议论文,1991.

作者简介：

汪琦，高级工程师，1961年10月生，1983年7月毕业于华东理工大学化工机械专业，本科；1991年7月毕业于华东理工大学化工机械专业，硕士；上海热油炉／热风炉／热水炉／熔盐炉设计开发中心，总工。

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